практика конспект



Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Тольяттинский государственный университет»

КОНСПЕКТ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

по дисциплине

«Математика (математический анализ и математическая статистика)»

студента группы Мм 1301

Алфимовой Анастасии Андреевны

Магистерская программа: 050100.68. Педагогическое образование.

Профиль: Математическое образование.

Место проведения практики: ТГУ, кафедра алгебры и геометрии

Дата проведения практического занятия: 06.03.2012 г.

Тема занятия: Граф бинарного отношения.

Группа: ППОб-1301

Студент ____________ Алфимова А.А.

Преподаватель дисциплины: ____________ Антонова И.В.

Руководитель практики ____________ Антонова И.В.

Тольятти 2014

Тема занятия: Граф бинарного отношения.

План занятия:

1. Постановка цели перед студентами (2 мин).

2. Написание по вариантам экпресс-опроса №1 по теме «Элементы теории множеств» (40 мин).

3. Выступление студентов с докладами по теме «Элементы теории множеств» (15 мин).

4. Решение задач на построение графов и определение их свойств (рефлективность, симметричность, антисимметричность, транзитивность, отношение эквивалентности и отношение порядка) (29 мин).

5. Подведение итогов (2 мин).

6. Постановка домашнего задания (2 мин).

Цель занятия: закрепить новый материал, рассмотренный на предыдущей лекции, научиться строить графы, определять их свойства, применять основные определения и свойства бинарных отношений между двумя элементами одного множества.

Основные формы работы студентов: самостоятельная работа, фронтальное решение задач, индивидуальное решение задач, защита докладов.

Содержание и ход занятия

Постановка цели перед студентами.

Преподаватель сообщает план занятия и цель занятия.

2. Написание по вариантам экпресс-опроса №1 по теме «Теория множеств».

Вариант 1.

1. Приведите примеры конечных множеств и бесконечных множеств.

2. Какое множество называется пустым? Как оно обозначается?

3. Что значит множество задано? Назовите способы задания множества.

4. В каких отношениях могут находиться множества? Дайте пояснение каждому случаю и изобразите их при помощи кругов Эйлера.

5. Дайте определение равных множеств. Приведите примеры. Запишите их отношения при помощи символов.

6. Дайте определение объединения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого случая.

7. Дайте определение декартового произведения двух множеств и изобразите на координатной плоскости. Приведите примеры.

8. Какое соответствие называется взаимно-однозначным?

9. Какое отношение на множестве называется рефлексивным?

10. Какое отношение на множестве называется антисимметричным?

11. Дайте определение отношения эквивалентности.

Вариант 2.

1. Что такое элемент множества.

2. Как обозначаются множества и элементы множества? Как обозначаются стандартные числовые множества?

3. Что Такое характеристическое свойство множества?

4. Дайте определение подмножества. Приведите пример множеств, одно из которых является подмножеством другого. Запишите их отношения при помощи символов.

5. Дайте определение пересечения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого случая.

6. Дайте определение разности двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого случая.

7. Что называется разбиением множества на классы? Назовите условия правильной классификации.

8. Назовите способы задания отношений на множестве.

9. Какое отношение на множестве называется симметричным?

10. Какое отношение на множестве называется транзитивным?

11. Дайте определение отношения порядка.

3. Выступление студентов с докладами по разделу «Элементы теории множеств» по темам:

а) «Математика вокруг нас»;

б) «Математика – царица и служанка всех наук»;

в) «Математика в устном народном творчестве».

4. Решение задач на построение графов и определение их свойств.

Свойства отношений

Определение 1. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о любом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.

Определение 2. Отношение R на множестве Х называется симметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R c элементом х.

Определение 3. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества Х из того, что элемент х находится в отношении R с эементом у, следует, что у в отношении R с элементом х не находится.

Определение 4. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R элементом z.

Пример 1.На множестве Х = {1, 2, 3, 4} задано отношение «х кратно у». Постройте граф и сформулируйте свойства данного отношения.

Решение.

2

1

4

3

Данное отношение рефлексивно, антиссиметрично, транзитивно.

Пример 2. Обладает ли свойством рефлексивности отношение «кратно», заданное на множестве В = {0, 2, 4}.

2

0

Решение.

4

Так как на 0 делить нельзя, поэтому 0 не кратен 0. Значит, данное отношение свойством рефлексивности не обладает.

Пример 3. На множестве Х = {2, 3, 4, 5, 6} заданы отношения «больше» и « больше или равно». Постройте графы и сформулируйте свойства данных отношений. Какое из них обладает свойством рефлексивности? Почему?

6

5

4

3

2

6

5

4

3

2

Решение.

«больше» «больше или равно»

Отношение «больше» обладает свойствами антисимметричности и транзитивности.

Отношение «больше или равно» обладает свойствами антисимметричности, транзитивности и рефлексивности.

Видно, что отношение «больше или равно» обладает отношением рефлексивности, так как любое число равно само себе.

Отношение эквивалентности

Определение 5. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример 4. На множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Покажите, что данное отношение есть отношение эквивалентности, и запишите все классы эквивалентности, на которые разбивается множество Х. Сколько таких классов получилось?

Решение.

1 = 0*3 +1 4 = 1*3+1 7 = 2*3+1 10 = 3*3+1

2 = 0*3 +2 5 = 1*3+2 8 = 2*3+2

3 = 1*3 +0 6 = 2*3+0 9 = 3*3+0

4

1

7

5

2

10

8

6

3

9

Отношение является отношением эквивалентности, так как обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Множество разбивается на 3 класса эквивалентности Н1={1, 4, 7, 10},

Н2={2, 5, 8} и Н3={3, 6, 9}.

Пример 5. На множестве Х = {213, 37, 21, 87, 82} задано отношение Р – «Иметь в записи одинаковые цифры». Является ли Р отношением эквивалентности?

213

37

Решение.

21

82

87

Как видно, данное отношение обладает свойствами рефлексивности и симметричности, но свойством транзитивности донное отношение не обладает.

Отношение порядка

Определение 6. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично.

Пример 6. На множестве Х = {3, 6, 9, 12, 15} задано отношение «х – делитель у». Покажите, что это отношение упорядочивает множество Х. Чем этот порядок отличается от того, который устанавливается в множестве Х при помощи отношения «больше»?

3

6

3

6

Решение.

9

15

9

15

12

12

«х – делитель у» «больше»

Отношение «х – делитель у» обладает свойствами антисимметричности и транзитивности, поэтому данное отношение является отношением порядка.

Видно, что отношение «больше» взаимосвязывает все элементы множества Х между собой, а отношением «х – делитель у» обладают не все элементы множества Х.

5. Подведение итогов.

Студенты делают вывод, что повторили на занятии, что нового узнали.

6. Постановка домашнего задания.

Пример №1. На множестве Е = {a, b, c, d} задано отношение R = {(a, b), (a, a), (b, b), (c, c), (d, d) (c, d), (b, a)}. Какими свойствами оно обладает?

d

a

Решение.

c

b

Отношение обладает только свойством рефлексивности.

Пример №2. Х – множество прямых плоскости. Какое из следующих отношений является отношением эквивалентности на этом множестве: 1) «х параллельна у»; 2) «х перпендикулярна у»; 3) «х пересекает у»?

Решение.

Отношение «х параллельна у» является отношением эквивалентности на множество прямых плоскости, так как обладает свойствами рефлексивности (любая прямая параллельна сама себе), симметричности (если прямая х параллельна прямой у, то у параллельна прямой у), транзитивности (если прямая х параллельна прямой у, а прямая у параллельна прямой z, то и прямая х параллельна прямой z).

Данное отношение разбивает множество Х на два множества: параллельных прямых и пустое множество.

Отношение «х параллельна у» не является отношением эквивалентности на множество прямых плоскости, так как оно не рефлексивно, не транзитивно.

Отношение «х пересекает у» не является отношением эквивалентности на множество прямых плоскости, так как оно не рефлексивно, не транзитивно.

Пример №3. Сколько классов эквивалентности определяет на множестве натуральных чисел отношение «оканчиваться одной и той же цифрой»? Назовите по одному представителю каждого класса.

Решение.

Множество натуральных чисел разбивается на 10 классов эквивалентности: числа, оканчивающиеся на 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (по одному представителю из каждого класса).

Список использованной при подготовке к занятию литературы

Основная литература:

Байрамукова, П. У. Методика обучения математике в начальных классах : курс лекций / П. У. Байрамукова, А. У. Уртенова. — Ростов н/Д : Феникс, 2009. — 298, [1] с.

Уртенов, Н. С. Основные понятия математики : учеб. пособие / Н. С. Уртенов. — Ростов н/Д : Феникс, 2009. — 206 с. : ил. — (Высшее образование). — Библиогр.: с. 204-205. — Алф. указ.: с. 196-203.

Дополнительная литература:

Стойлова, Л.П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений / Л. П. Стойлова. – М. :. Издательский центр «Академия», 2002. – 424 с.






map