Пособие С.А. 2



С.А.Франгулов, Т.Г.Ходот

Преобразования плоскости и

пространства

(учебное пособие для студентов педагогических вузов)

2012

Предисловие

В настоящем учебном пособии рассматриваются часто встречающиеся в разных областях математики и естественных наук линейные преобразования плоскости и пространства (преобразования, которые могут быть заданы в декартовых координатах линейными системами) и связанный с ними метод изображения на плоскости плоских и пространственных фигур при помощи параллельного проектирования.

Основным методом изучения преобразований плоскости и пространcтва в этом пособии является метод координат. При этом удобно во многих случаях при решении задачи применять разные системы координат. Поэтому необходимо уметь переходить от одной системы координат к другой, т.е. знать формулы перехода (преобразования) координат.

Следует иметь в виду, что слово «преобразование» употребляется здесь в разных смыслах.

В первом случае 1.Преобразование декартовой системы координат) на плоскости введены две системы координат и ставится задача: зная координаты любой точки в одной системе, найти координаты этой точки в другой системе. Результаты § 1 применяются в § 2 к исследованию квадрик на плоскости.

Во втором случае слово «преобразование» означает отображение множества на себя. Преобразованиями в этом смысле являются рассматриваемые здесь движения, подобия, аффинные преобразования. Преобразования координат являются одним из способов изучения указанных отображений.

§ 1. Преобразования декартовых координат

Пусть в пространстве даны две декартовы системы координат, одну из которых будем называть старой, а другую – новой. Начало новой системы координат обозначим через O, базисные векторы – через , координаты произвольной точки в этой системе – через (x, y, z). Соответствующие элементы новой системы обозначим соответственно через O’, , (x’, y’, z’). Надо, зная координаты точки в одной системе, найти её координаты в другой.

Эту задачу будем решать в два этапа: 1. Системы координат имеют общий базис и разные начала. 2. Системы координат имеют общее начало и разные базисы.3.Общий случай: и начала, и базисы систем координат различаются.

п. 1. Параллельный перенос осей

Будем говорить, что новая система получена параллельным переносом старой, если они имеют общий базис, то есть если направления старых и соответствующих новых осей совпадают.

Обозначим координаты точки O’ относительно старой системы координат через (a, b, c). Поскольку базисные векторы обеих систем совпадают, то соответствующие координаты всякого вектора в обеих системах одни и те же.

Рассмотрим произвольную точку M. Её радиус-вектор в старой системе координат есть вектор (x, y, z), а в новой системе — (x’, y’, z’). Так как имеет место равенство:

,

где вектор имеет координаты (a, b, c), то зависимость между старыми и новыми координатами точки M имеет вид:

x = x+a, y= y+b, z= z+ c. (1)

Формулы параллельного переноса осей на плоскости имеют вид:

x = x’+a, y= y’+b.(2)

В качестве примера использования полученных формул докажем, что график квадратного трёхчлена y = Ax2+Bx+C есть парабола.

Для этого выполним следующие тождественные преобразования:

y = A(x2+xB/A)+ C= = A(x2+xB/A+B2/4A2)+ C- B2/4A.

В результате получаем:

y – (C- B2/4A) = A(x +B/2A)2 (3)

Введём новую систему координат (x’, y’), полученную переносом осей координат в новое начало O’ (-B/2A, C-B2/4A).

По формулам (2) получим: x = x’+B/2A, y= y’-( C-B2/4A). Подставляя этот результат в уравнение (3), получим уравнение y’ = Ax’2, задающее параболу.

п.2. Замена базиса в пространстве

Пусть две системы координат имеют общее начало O. Зададим векторы нового базиса их разложениями по векторам старого базиса. Так как векторы обоих базисов единичные и попарно ортогональные (базисы ортонормированные), то коэффициенты разложения представляют собой косинусы углов между векторами старого и нового базисов.

Введём следующие обозначения:

(i1, i) = α1 , (i1,j) = β1, (i1, k)=γγ,

(j1, i) = α2 , (j1,j) = β2, (j1, k)=γ2,

(k1, i) = α3 , (k1,j) = β3, (k1, k)=γ3.

Для сокращения дальнейших формул обозначим:

cos α1= a1 , cos β1= b1 , cos γ1= c1,

cos α2= a2 , cosβ2= b2 , cos γ2= c2,

cos α3= a3 , cosβ3= b3 , cos γ3= c3.

Тогда указанные разложения имеют вид:

(4)

Векторы старого базиса, в свою очередь, выражаются через векторы нового базиса следующим образом:

(5)

Пусть M —произвольная точка с координатами (x, y, z) в старой системе и координатами (x’, y’, z’) в новой. Радиус OM имеет в этих системах координаты соответственно (x, y, z) и (x’, y’, z’).Поэтому выполняется равенство: .

Пользуясь равенствами (5), получим:

=x (a1+ a2 +a3 ) +y(b1 + b2+b3) + z (c1 + +c2 +c3 ) = (aix +b1y +c1z) + (a2x +b2y +c2z) + (a3 x +b3y +c3 z)

Следовательно, новые координаты выражаются через старые формулами:

(6)

Старые координаты выражаются через новые по формулам:

(7)

Поскольку оба базиса ортонормированные, то матрица

преобразования обладает следующими свойствами:

a12 + b12 +c12 =1, a22 + b22 +c22 =1, a32 + b32 +c32 =1,

a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0,

a1a3 + b1b3 + c1c3 = 0, (8)

a2a3+ b2b3 + c2c3 = 0.

Матрица, обладающая такими свойствами, называется ортогональной. Очевидно, что выполняются также равенства:

a12 + a22 +a32 =1, b12 + b22 +b32 =1, c12 + c22 +c32 =1

a1b1 + a2b2 + a 3 b3 = 0,

a1c1 + a2c2 + a 3 c3 = 0, (9)

c1b1 + c2b2 + c 3 b3 = 0.

Так как объём параллелепипеда, построенного на векторах

, , , равен 1, то

= 1 (10)

Из равенств (4) и (5) видно, что если векторы нового базиса выражаются через векторы старого базиса при помощи матрицы A, то векторы старого базиса выражаются через векторы нового базиса при помощи транспонированной матрицы Aт (она же является обратной к матрице А). Равенство А-1 = Ат выполняется тогда и только тогда, когда оба базиса ортонормированные. Это относится и к замене базиса на плоскости.

п.3. Замена базиса на плоскости

Рассмотрим замену базиса на плоскости Oxy как частный случай замены базиса в пространстве. При этом вектор не меняется, т.е. . Обозначим угол между векторами через . Для взаимного положения базисов возможны два случая.

Базис { } получен поворотом базиса {} (рис. 1) Тогда =1, 1 = (/2 — ) (знак + в случае острого угла , знак – в случае тупого угла ), 2= /2 +, 2= .

Поэтому cos 1= cos , cos 1=sin , cos 2= — sin , cos 2= sin .

Формулы (4) принимают вид:

i= i cos + j sin,

j= — i sin + jcos (11)

Базис {i,j} получен поворотом старого и заменой вектора j на противоположный. Тогда зависимость между базисами задаётся формулами:

i= i cos + j sin,

j= i sin — jcos (12)

Для первого случая формулы преобразования координат имеют вид: x` = x cos +ysin ,

y` = — xsin + ycos,(13)

x = x` cos y` sin ,

y` = x`sin+ y` cos, (14)

для второго –

x`= x cos +ysin ,

y` = ix sin ycos,(15)

x = x` cos + y` sin ,

y = x`sin y` cos,(16)

п.4. Общий случай преобразования координат

В общем случае для перехода от старой системы координат (x,y,z) с началом O и базисом {i, j, k} к новой (x,y,z) — с началом O и базисом {i,j,k} введём вспомогательную систему координат () с началом O и базисом {i, j, k}. Переход от старой системы к вспомогательной происходит по формулам (1):

= x — a, =y -b, = z’+ c.(17)

Переход от вспомогательной системы координат к новой происходит по формулам (6), в правые части которых нужно подставить вместо x, y, z координаты , выраженные формулами (17):

x=(x-a)cos1 +(y-b)cos1 +(z-c)cos1,

y=(x-a)cos 2+(y-b)cos 2+(z-c)cos2,(18)

z=(xa)cos3 +(yb)cos3 +(zc)cos3.

Аналогично получаем формулы перехода от новых координат к старым:

x=x cos1 +y cos2+z cos3+a,

y= x cos 1+ y cos 2+ z cos3+b,(19)

z= x cos1 + y cos2+ z cos3 +c.

Некоторая несимметричность систем (18) и (19) объясняется тем, что числа a, b, c суть координаты нового начала относительно старой системы.

Общие формулы преобразования координат на плоскости для первого случая имеют вид:

x =(x-a) cos +(y-b) sin ,

y =- (x-a) sin +(y-b) cos; (20)

x = x cos — y sin+a,

y = x sin + y cos+b. (21)

И для второго случая:

x=(xa) cos +(yb) sin,

y=-(x-a) sin -(y-b) cos; (22)

x=x cos + y sin + a,

y= x sin — y cos + b. (23)

§ 2. Ориентация плоскости и пространства

п.1. Определение ориентации плоскости

Наглядное представление ориентации даёт рассмотрение треугольников, изображённых на рисунке 2. Эти треугольники равны. При этом треугольники «а» и «б» можно совместить непрерывным перемещением по плоскости, но ни один из них нельзя так совместить с треугольником «в». Треугольники «а» и «б» ориентированы одинаково, но каждый из них ориентирован противоположно с треугольником «в».

Вместо треугольников можно воспользоваться системами координат S (O, x, y), S ‘(O‘, x‘, y‘), S‘ (O», x», y») (рис. 3), причем оси в каждой системе упорядочены: первые оси O x, Ox‘, O» x». Соответствующие положительные полуоси систем «а» и «б» можно совместить непрерывным движением по плоскости, а для систем «а» и «в» это невозможно. Системы «а» и «б» ориентированы одинаково, но каждая из них ориентирована противоположно с системой «в».

Рассмотрим теперь три базиса E={e1, e2}, E‘={e1‘, e2‘}, E»={e1», e2»} (рис. 4). Векторы каждого базиса упорядочены.

Базис E можно непрерывными перемещениями и деформациями перевести в базис E‘ так, что при этом векторы всё время остаются неколлинеарными, т.е. образуют базис. Подобным же образом перевести базис E в базис E » невозможно. Базисы E и E ‘ ориентированы одинаково, а базисы E и E » ориентированы противоположно.

Приведённые соображения опираются на наглядные представления. Перейдём к определению ориентации.

Пусть даны базисы E={e1, e2}, E‘={e1‘, e2‘}. Все базисы в дальнейшем считаем упорядоченными. Векторы e1‘, e2линейно выражаются через векторы e1, e2 базиса E формулами вида:

e1‘= a11e1 + a21e2 ,

e2‘ = a12 e1+ a22e2.(1)

Так как векторы e1‘, e2 линейно независимы, то

Определитель назовём определителем перехода от базиса E к базису E‘ и будем обозначать (E,E‘).

Базис E‘ называется одинаково ориентированным с базисом E, если определитель перехода (E,E‘) положителен. Если (E,E‘) < 0, то базис E‘ называется противоположно ориентированным с базисом E.

Теорема 1. Отношение одинаковой ориентированности базисов есть отношение эквивалентности. Существуют ровно два класса эквивалентности.

Предварительно докажем две леммы.

Лемма 1. Пусть даны базисы E={e1, e2}, E‘={e1‘, e2‘}, E»={e1», e2»} и пусть переход от базиса E к базису E ‘ задан системой (1), а переход от базиса E‘ к базису E – системой

e1= b11e1 + b21e2 ,

e2 = b12 e1+ b22e2.(2)

Тогда определитель перехода (E, E‘) равен произведению

(E,E‘)·(E,E‘).

Доказательство. Выразим векторы e1, e2 через векторы e1, e2.

e1 = b11(a11e1 + a21e2) + b21( a12 e1+ a22e2),

e2 = b12( a11e1 + a21e2) +b22(a12 e1+ a22e2);

e1 = (a11b11+a12b21)e1 + (a21b11+a22b21)e2,

e2 = (a11b12+a12b22)e1 + (a21b12+a22b22)e2.

Тогда (E,E‘) =

Вычислив произведение (E,E‘) .(E,E‘), убедимся в равенстве:

(E,E‘) = (E,E‘) . (E,E‘). (3)

Лемма 2. (E‘,E)=((E,E‘))— 1.

Воспользуемся леммой 1, полагая E =E.

Так как (E,E‘) = (E,E) и e1=1e1+0 e2, e2= 0e1+ 1 e2, то (E,E) = 1. Поэтому (E,E‘) (E,E) = 1. Тогда

(E‘,E)=( (E,E‘))— 1(4)

Доказательство теоремы

I. Докажем, что отношение одинаковой ориентированности базисов есть отношение эквивалентности. Для этого нужно проверить выполнение трёх условий.

Рефлексивность. Очевидно, что для всякого базиса E выполняется равенство (E,E) = 1>0.

Симметричность следует из леммы 2.

Транзитивность следует из леммы 1.

II. Докажем, что существуют ровно два класса эквивалентности.

Напомним, что каждый класс однозначно определяется любым своим элементом (представителем). Выберем произвольный базис E(e1, e2). Он определяет некоторый класс эквивалентности A. Выберем какой-нибудь базис, не принадлежащий классу A, например, базис E (e1,e2 ) с векторами e1 = e1, e2 =- e2. Тогда (E,E‘) = — 1 < 0. Базис E не принадлежит классу A . Следовательно, он определяет новый класс B. Докажем, что существует только два класса эквивалентности, то есть, что всякий базис принадлежит либо классу A, либо классу B.

Если (E,E‘) > 0, то базис E принадлежит классу A. Пусть (E,E‘) < 0. По лемме 1 выполняется равенство (E,E‘) = (E,E‘) (E,E‘). Так как (E,E‘) < 0 и (E,E‘) < 0 , то (E,E‘)>0 и базис E принадлежит классу B.

Класс одинаково ориентированных базисов называется ориентацией плоскости. Чтобы задать ориентацию плоскости, достаточно указать один базис.

Две системы координат называются одинаково ориентированными, если одинаково ориентированы их базисы. Заметим, что параллельный перенос осей координат не меняет ориентацию. Системы координат, связанные формулами (20) и (21) § 1, имеют одинаковую ориентацию; системы координат, связанные формулами (22) и (23) § 1, имеют противоположные ориентации.

Выбранную ориентацию обычно называют положительной, базисы и системы координат этой ориентации – правыми. Другую ориентацию называют отрицательной, а её базисы и системы координат – левыми. Базисы правой ориентации обычно изображают так, чтобы кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходил против часовой стрелки (рис. 4). Базисы и системы координат разной ориентации обладают одинаковыми свойствами.

Легко видеть, что при умножении любого из базисных векторов на положительное число ориентация базиса не меняется. При умножении одного из базисных векторов на отрицательное число ориентация базиса меняется на противоположную.

п.2. Ориентированный угол

Понятие ориентированного угла на наглядном уровне встречается в курсе средней школы при определении тригонометрических функций. Материал предыдущего пункта позволяет дать определение ориентированного угла, не связанное с часовой стрелкой и другими объектами окружающего мира.

Пусть на ориентированной плоскости дан угол hk , отличный от нулевого и развёрнутого, и пусть его величина равна . Направляющие векторы сторон угла образуют базис {}.

Ориентацией угла hk называется ориентация базиса {}. Величиной ориентированного угла (часто говорят просто ориентированным углом) называется число , если угол hk ориентирован положительно, и число — , если он ориентирован отрицательно.

п.3.Плоский флаг

Флагом (плоским флагом) называется объединение открытой полуплоскости и луча на её границе. Обозначим полуплоскость через , луч — l, его начало — O; тогда флаг удобно обозначать {l,} или {O,l,}. Если на плоскости задана ориентация, то она естественным образом определяет ориентацию флага. Выберем произвольный луч m с началом O, содержащийся в открытой полуплоскости . Ориентацией флага {O,l,} назовём ориентацию угла lm . Очевидно, что ориентация флага не зависит от выбора луча m с началом O, содержащегося в открытой полуплоскости . Из сказанного следует, что ориентацию плоскости можно задавать выбором флага.

п.4. Ориентация пространства

Наглядное представление об одинаково (противоположно) ориентированных тройках векторов (базисов) приводится при изучении векторного произведения.

Определение ориентации пространства почти дословно повторяет определение ориентации плоскости.

Пусть даны два базиса E={e1, e2, e3}, E‘={e1‘, e2‘, e3‘}. Векторы e1‘, e2‘, e3линейно выражаются через векторы e1, e2, e3 базиса E :

e1‘= a11e1 + a21e2 + a31e3,

e2‘ = a12 e1+ a22e2 + a32e3,

e3‘ = a13e1 + a23e2 + a33e3.

Говорят, что базис E’ одинаково ориентирован с базисом E , если

> 0.

Как и для базисов на плоскости, доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Отношение одинаковой ориентированности базисов есть отношение эквивалентности. При этом существуют ровно два класса эквивалентности.

Класс эквивалентности одинаково ориентированных базисов называется ориентацией пространства. Две системы координат называются одинаково ориентированными, если одинаково ориентированы их базисы.

Пространственным флагом называется объединение открытого полупространства, открытой полуплоскости на его границе и луча на её границе. Флаг с полупространством H, полуплоскостью и лучом l с началом O будем обозначать {O, l, , H} или {l, , H}.

Выберем базис {e1, e2, e3}, направив векторы из точки O так, что вектор e1 лежит на луче l, вектор e2 – в полуплоскости , а вектор e3 – в полупространстве H. Ориентацией флага называется ориентация построенного таким образом базиса. Легко видеть, что ориентация флага на зависит от выбора на луче, вектора на полуплоскости и вектора в полупространстве. Ориентацию пространства можно задавать флагом.

§ 3. Исследование квадрики на плоскости

п.1. Приведение уравнения квадрики к каноническому виду

Определение. Квадрикой на плоскости называется множество точек, заданное в некоторой системе декартовых координат уравнением второй степени, т.е. уравнением вида:

Ax2 + 2Bxy + 2Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1)

Обозначения 2B, 2C, 2E введены только потому, что в дальнейшем удобно использовать половины этих коэффициентов.

Легко видеть, что если фигура задана уравнением второй степени в некоторой декартовой системе координат, то она задана уравнением второй степени и в любой декартовой системе координат.

Действительно, так как переход от одной системы координат к другой происходит по линейным формулам вида 20, 21 (§ 1), то в новой системе координат получим алгебраическое уравнение степени не выше второй, т.е. степень уравнения не может повыситься.

Докажем, что его степень не может и понизиться.

Предположим противное. Пусть при переходе от системы координат к системе координат степень уравнения понизилась. Тогда при переходе от системы координат к системе координат должно получиться прежнее уравнение, т.е. степень уравнения повысится, что невозможно.

Задача исследования уравнения состоит в установлении всех фигур, которые могут быть заданы уравнениями вида (1). Путём решения этой задачи является приведение уравнения квадрики к возможно простейшему виду. Это достигается при помощи подбора наиболее удобной системы координат.

Сначала, не меняя начала координат, повернём оси так, чтобы в новой системе уравнение квадрики не содержало произведения новых координат xy. Воспользуемся формулами (14) § 1, выражающими старые координаты (x,y) через новые ( x,y)

x= x cosy sin ,

y= xsin+ y cos(2)

и запишем уравнение (1) в новой системе координат:

A (xcos y sin)2 +2B (xcos y sin)( xsin+ y cos)+C(xsin+ycos)2 + 2D (x cos y sin)+ E (x cos y sin) + F=0.

Собирая коэффициенты при x2, xy, y2, x, y, получим:



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | ... | Вперед → | Последняя | Весь текст




map